1.삼각형의 흔적
전설의 수학자 피타고라스가 태어난 곳으로 알려진 그리스 사모스 섬에는 2500년 전에 물길을 끌어들이기 위해 일직선으로 방향을 정하고 양쪽 방향에서 파고 들어가 완성시킨 인류 최초의 터널이 있다.
특별한 장비도 없었던 당시, 양쪽 방향에서 터널을 뚫을 때 이용했다는 직각삼각형의 닮음꼴 성질.
과연 고대인들은 직각삼각형에 대한 어떤 지식을 가지고 있었던 것일까?


2. a²+b²=c²
바빌로니아에 의해 만들어진 플림튼 322 점토판 조각에 새겨져 있는 수의 비밀은 직각삼각형의 세 변의 길이를 나타내는 수였다. 우리가 피타고라스의 정리라고 알고 있는 직각삼각형의 성질을 3700년 전 바빌로니아 사람들은 이미 알고 있었던 셈이다.
피타고라스가 태어나기 천년 전부터 알려진 이 정리를 우리는 왜 피타고라스의 정리라고 부르는 것일까?!


3. 지구 위의 딱정벌레
우리나라에 큰 직각삼각형을 그렸으나 피타고라스의 정리는 적용되지 않았다. 국내뿐 아니라 다른 나라를 거쳐 만들어진 더 큰 직각삼각형 또한 마찬가지였다.
그 이유는 무엇일까?
수학자들에게 가장 완벽하고 아름다운 공식으로 알려진 피타고라스의 정리는 수학 역사상 가장 위대한 발견이었다. 그러나 피타고라스의 정리는 평평한 공간에 적용될 뿐 지구의 표면과 같은 곡면에서는 맞지 않았다.
피타고라스의 정리에 위기가 찾아왔다?!

1. 치타가 삼킨 방정식
치타처럼 점무늬 몸을 가진 동물은 줄무늬 꼬리를 가질 수 있다. 하지만 얼룩말처럼 줄무늬 몸을 가진 동물은 절대 점무늬 꼬리를 가질 수 없다. 이와 같은 명제는 모든 동물이 어떻게 각각의 무늬를 가지게 되었는가에 대한 해답의 출발점이 되었다. 세계 석학들의 밀도 높은 인터뷰와 아프리카 현지 촬영을 통해 패턴의 비밀을 생생하게 전달하며, 동물의 무늬가 형성되는 과정을 수학에서는 어떻게 설명하는가에 대해 알아본다.

- 찰스 다윈의 '자연선택'
영국의 왕립학회 지하 서고에 오랫동안 보관되어 온 한 권의 책에서는 생명의 디자인에 대한 단서를 찾을 수 있다. 150년 전 출간된 이 책은 생명이 어떻게 지금의 모습을 갖추게 되었는지를 놀라운 직관력과 증거로 제시하고 있다. 제4장 '자연선택'에서는 동물의 무늬 형성에 관한 단초를 찾을 수 있다. 동물의 무늬는 자연이 스스로 선택한 무늬로, 치타의 점무늬 또한 자연이 선택한 것이다.

-화학물질의 확산과 반응
동물의 무늬가 생성되는 과정을 방정식으로 풀이하고자 한 '제임스 머레이' 교수는 동물의 무늬가 화학물질의 반응으로 만들어진다는 것을 알아낸다. 그것은 오래전 튜링의 논문에서 아이디어를 얻은 것이었다. 20세기 가장 위대한 수학자 중 한 명인 튜링은 동물이 어미 뱃속에 있을 때 태아의 표면에 화학물질이 돌아다니는데 이런 화학물질이 서로 반응하고 확산하면서 무늬를 만들어낸다고 생각했다. 확산과 반응에 관한 튜링의 이론은 화학실험으로 증명되었고, 머레이는 그것이 실제 동물의 이론에 적용될 수 있다는 가능성을 보여주었다.

- 동물의 무늬 생성과정
무늬가 생성되는 시기는 동물마다 다르다. 얼룩말의 무늬는 태아가 작을 때 생성되는 반면 치타의 무늬는 태아가 클 때 생성된다. 꼬리의 크기도 마찬가지이다. 무늬는 화학물질의 반응으로 생성된다. 면적이 넓은 치타의 꼬리는 많은 반응을 담아내지만, 얼룩말의 꼬리는 작고 가늘어 하나의 반응도 담지 못한다. 어떻게 화학물질이 마치 살아있는 것처럼 움직여 일련의 패턴을 만들어내는 것일까? 생명 안에서 이루어지는 화학물질의 현상에 대해 알아본다.


2. 크기의 법칙
쥐의 평균 수명은 2~4년이고, 코끼리는 60~70년이다. 그러나 수명에 심박수를 곱하면 두 동물의 평생 심박수는 15억 번으로 동일하고 모든 포유류가 같은 심박수를 갖는다. 복잡한 생명계에서 유일한 법칙이라 일컬어지는 크기의 법칙에는 서로 다른 동물들이 평생 같은 심박수를 갖는다는 놀라운 법칙이 담겨 있다. 이것은 생명이 하나의 원리 아래 움직인다는 증거이다. 생로병사와 관계해 동물들이 공유하는 법칙을 찾아본다.

- 동물의 크기와 심장박동수의 법칙
모든 포유류의 심장박동수는 크기에 맞춰 일정한 비율을 가진다는 법칙이 있다. 모든 포유류는 체중의 1/4 제곱에 비례해 심장이 뛰어 체중이 10배 커지면 심장은 2배 천천히 뛰고, 크기에 맞춰 호흡수나 혈액 순환 시간, 수명, 대동맥의 굵기 등은 일정한 비율을 가지고 있다. 쥐에서 코끼리까지 이것은 모든 포유류에게 적용되는 법칙이다.

- 심리적인 시간의 개념
인간을 포함한 모든 동물은 같은 공간에 있어도 같은 시간을 느끼는 것은 아니다. 학자들은 심리적인 시간의 개념을 크기와 심장박동의 관계에서 찾는다. 몸의 크기와 심장박동수가 다르면 몸 안의 생체시계도 서로 다르게 흘러간다. 생쥐처럼 작은 동물은 심장박동수와 호흡이 빠르게 움직이고 빨리 크고 빨리 죽어 시간이 빠른 반면, 코끼리처럼 큰 동물은 뭐든지 느리다. 이처럼 크기와 심장박동은 모든 포유류를 연결하는 법칙이다.

- 수명의 법칙
현대 수학이 밝혀낸 동물들의 수명의 법칙. 동물의 크기가 커질수록 수명도 일정한 비율로 늘어난다. 심장박동수와는 반대되는 기울기로 이를 곱하면 일정한 기울기가 나오고 이것은 숫자로 나타낼 수 있다. 모든 포유류가 공유하는 심장박동수 15억이 바로 그것이다.

-프랙탈
인간과 동물, 그리고 식물의 속성을 규정하는 프랙탈. 프랙탈은 자연계에서 개념을 가져온 수학이론으로 프랙탈 구조는 복잡한 차원을 갖는다. 우리 몸 안의 혈관 역시 확대를 하더라도 닮은꼴의 프랙탈 구조이다. 혈관의 이 프랙탈 차원이 생명계의 많은 그래프와 깊은 관계를 맺고 있다. 그리고 이 혈관 구조의 모습은 인간뿐만 아니라 모든 포유류가 공유하고 있으며, 동물의 크기에 관계없이 일정한 법칙 아래 존재하는 생명현상이다.


3. 사라진 천재 수학자
21세기의 시작을 알린 2000년. 미국의 클레이 수학 연구소에서는 새로운 밀레니엄을 맞아 현대에 이르기까지 오래도록 풀리지 않는 수학 문제 중 수학과 과학의 발전에 중요한 단서가 될 7개의 문제를 뽑아 '밀레니엄 난제'로 선정했다. 이 문제를 푸는 사람에게 100만 달러의 상금을 걸었고, 마침내 7대 난제 중 하나인 '푸앵카레의 추측'이 한 수학자에 의해 증명된다. 이후 그는 수학계의 노벨상으로 불리는 필즈메달의 주인공이 되지만 부와 명예를 뒤로하고 은둔해 버린다. 그는 왜 사라져 버린 것일까? 우주의 모양에 관한 단서를 제공해 준 '푸앵카레의 추측'과 이를 해결한 수학자를 찾아가는 과정을 통해 우주에 관한 지식을 얻기 위해 기하학이 걸어온 길과 인류지식의 등정의 역사를 알아본다.

- 천재 수학자의 탄생
2002년 11월 수학 전문 저널관인 인터넷의 한 사이트에 밀레니엄 난제 중 하나이자, 3차원 도형의 모양에 관한 문제인 '푸앵카레의 추측'에 관한 짧은 논문 한 편이 올라온다. 세계 수학계를 뒤흔든 그 논문의 주인공은 러시아의 무명 수학자 '그레고리 페렐만'이었다.

- 수학과 우주의 연관관계
고대 이집트 알렉산드리아 도서관은 그리스 수학과 과학, 철학이 집대성된 지식의 보고라 불렸으며 이곳에서 뉴클리드는 당대 최고의 수학책이었던 기하학원론을 남긴다. 탈레스와 피타고라스시대 때부터 계승 발전해 온 수학을 요약한 이 책은 현재까지도 중학교 교과서에 그 내용이 실려 있다. 그러나 불변의 진리라고 믿었던 '평면에서 삼각형의 내각의 합은 180도가 된다'라는 사실에 도전한 수학자 리만은 평면이 아닌 굽은 공간에서 내각의 합이 180도가 아닌 삼각형이 존재할 수 있음을 밝혔다. 리만은 새로운 현대적인 과학과 수학의 가능성을 열었고, 공간을 이해하는 진로를 근본적으로 바꾸어 우주에 대한 우리의 생각을 표현하는데 필요한 수학적 언어를 제공하였다.

- 페렐만의 '푸앵카레의 추측' 증명 방법
페렐만의 증명은 수학계에 큰 파장을 불러 일으켰다. 그 이유는 그가 지금까지 '푸앵카레의 추측'에 도전했던 어떤 수학자들과는 다른 방법으로 난제를 풀어냈기 때문이다. 페렐만은 구부러진 우주 공간을 펴는 수학 방정식을 도입해 공간을 늘이고 펴서 둥근 원구의 형태를 만들어 마침내 '푸앵카레의 추측'을 증명하게 된다.

1. 수의 시작
1858년 스코틀랜드의 고고학자 헨리 린드는 이집트 룩소 시장에서 낡은 파피루스 한 장을 구매했다. 수년 뒤 고대 이집트어가 해독되면서 이 파피루스에 담긴 놀라운 내용이 밝혀졌다. 파피루스에는 파라오의 왕국 경영에 필요한 모든 지식이 적혀 있었는데 피라미드 높이를 정하는 법, 토지 측량, 노동자에게 급료를 나눠주는 방법 등 84개의 문항이 그것이었다. 람세스 2세의 장제전에서 도굴당한 무려 3,500년 전 이집트 서기관이 썼던 파피루스 한 장에 의지해 인류 최초의 문명 이집트가 어떻게 왕국을 다스렸으며, 분배와 측량의 기술을 터득했는가를 살펴본다.


2. 원론
미국의 독립선언서와 뉴턴의 프린키피아가 표절한 책이 있다. 바로 그리스의 원론이다. 유클리드는 그리스의 철학과 수학을 집대성해 이 책에 담았다. 원론은 수학의 원론이 아니라, 이후 모든 논리학과 철학, 과학의 원론이 되었다. '점이란 무엇인가?'라는 이 간단한 질문 하나에 피타고라스에서 플라톤, 아리스토텔레스에 이르기까지 온 그리스의 철학자들이 매달린 이유를 알아본다.


3. 신의 숫자
현대 인류가 사용하는 아라비아 숫자는 사실 인도에서 탄생한 것이다. 서기 620년경 천문학자 '브라마굽타'가 발명한 숫자 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 하였고, 과학이 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라, 인도에서 어떻게 인류 최고의 발명품 0이 탄생했는지 그 근원을 추적해 본다.


4. 움직이는 세계, 미적분
17세기 유럽은 한 위대한 수학적 발견에 대한 우선권 논쟁에 휩싸였다. 주인공은 천재 물리학자 뉴턴과 철학자 라이프니츠. 그들이 서로 먼저 발견했다고 주장하는 것은 미적분이었다. 변하는 모든 것을 방정식으로 풀어내어 수학의 재탄생을 가져왔던 미적분을 놓고 벌어진 뉴턴과 라이프니츠의 대결, 과연 승자는 누구일까?


5. 남겨진 문제들
인류에게 남겨진 위대한 수학 문제, '페르마의 마지막 정리'와 '푸앵카레의 추측'을 통해 현대 수학의 지평을 살펴본다.

- 페르마의 마지막 정리
'aⁿ＋ bⁿ= cⁿ(n>2) 이와 같은 식을 만족하는 정수는 없다' 즉 aⁿ＋ bⁿ≠ cⁿ(n>2)인 페르마의 마지막 정리. 300년이 넘도록 풀리지 않았던 이 난제는 수학자 앤드류 와일즈를 통해 증명됐다. '페르마의 마지막 정리'에 관한 내용을 살펴보며 앤드류 와일즈는 이 난제를 어떻게 증명했는지 알아본다.

- 푸앵카레의 추측
세계 7대 수학 난제 중 하나인 '푸앵카레의 추측'은 제시된 지 3년 만에 그레고리 페렐만을 통해 증명됐다. 푸앵카레가 제시한 문제는 '구멍이 없고 닫힌 3차원의 어떤 우주를 다른 모양으로 변형시킬 수 있지 않을까?'로 이해하기조차 어려운 이 문제를 비눗방울과 지하철노선도, 한붓그리기를 통해 쉽게 풀어본다.